Matemática para la vida real: El GPS (Parte I)

Por Pablo Groisman

Partamos de la base de que a grandes rasgos todos tenemos una idea asociada a la sigla GPS. Por lo general, solemos emparentarla con alguno de los aparatitos que se muestran en la Figura 1 o con la capacidad que tienen nuestros teléfonos celulares de indicarnos con extremada presición el lugar en donde estamos. A partir de esta capacidad, se pueden desarrollar una enorme cantidad de aplicaciones diversas que convierten a los GPS en instrumentos útiles tanto para la navegación aérea y marítima así como también para elegir el restaurante más cercano para nuestra próxima cena, conocer donde se encuentra el tren que debemos tomar o guardar automáticamente el lugar de la última fotografía que tomamos; ayudarnos a elegir el camino más rápido para llegar a casa, informarnos el estado del tránsito en todo el planeta, etc. Entre las necesidades más profundas y las mayores excentricidades podemos encontrar las mas variadas utilidades.

Figura 1: Receptores GPS

Suena razonable entonces preguntarse cómo es que hacen estos pequeños aparatitos para decirnos con tanta presición y tan rápidamente el lugar en donde nos encontramos. Aquí trataremos algunos de los aspectos matemáticos del asunto.

Todo está basado en dos ideas muy simples, que son

1. velocidad x tiempo = distancia,
2. La interseccón de dos circunferencias está dada por dos puntos.

La primera de las dos afirmaciones es cierta con toda generalidad y surge del hecho de que la velocidad es la variación de la posición y por ende se calcula dividiendo la distancia recorrida por el tiempo que se tardó en recorrer dicha distancia, mientras que la segunda no siempre es cierta, pero veremos que sí lo es en la situación que nos interesa. Acá los invito a pensar cuáles son las distintas posiblidades para la intersección de dos circunferencias.

Figura 2: Intersección de dos circunferencias en el plano

La segunda de las dos afirmaciones puede ser usada como se muestra en la Figura 3: si sabemos que nos encontramos a 4 kilómetros de La Bombonera (estadio del Club Atlético Boca Juniors) y a 2,7 kilómetros de la Estación de Retiro (son los centros de las dos cirunferencias que están marcadas en el mapa), entonces podemos asegurar que estamos en la intersección de las dos circunferencias dibujadas. Si contamos con la información adicional de que no nos encontramos en medio del río, podemos asegurar que estamos en Corrientes y Pasteur, en pleno barrio de Once.

Figura 3: Mapa de la Ciudad de Buenos Aires. En rojo todos los lugares que estan a 4 km del Estadio Alberto J. Armando (La Bombonera) y en azul todos los lugares que están a 2,7 km de la Estación Retiro.

Estos razonamientos que acabamos de hacer corresponden a un mundo bidimensional, un mundo sin tercera dimensión, que no es el mundo en donde vivimos. En el caso del GPS, los puntos de referencia que se toman para determinar nuestra posición son las posiciones de algunos de los treinta y dos satélites que están en órbita a unos veinte mil kilómetros de La Tierra y que son la parte sustancial del Sistema de Posicionamiento Global (GPS es su sigla en inglés). Estos treinta y dos satélites orbitan de forma tal que desde cualquier punto de La Tierra se puede recibir la señal de al menos cuatro de ellos.

Nuestro problema ahora es tridimensional más que bidimensional. Es decir, debemos localizar un punto en un espacio de tres dimensiones y no en uno de dos, como era el plano de la Ciudad de Buenos Aires.

Cuando estamos en el espacio, conocer a qué distancia estamos de un punto (satélite) nos dice que estamos en algún lugar de la esfera con centro en ese punto y de radio igual a la distancia conocida (en lugar de la circunferencia, como ocurría en el mundo bidimensional). Entonces si conocemos nuestra distancia a dos satélites, sabemos que estamos en la intersección de dos esferas. A diferencia del caso bidimensional en que la intersección de dos circunferencias nos daba dos puntos, la intersección de dos esferas es (genéricamente) una circunferencia. Esto no es obvio, hay que tratar de visualizarlo mentalmente (vale ayudarse con la Figura 4). Es decir que en el espacio no es suficiente con conocer la distancia a dos puntos para conocer nuestra posición. Agreguemos entonces un tercer satélite. Si conocemos nuestra distancia a tres satélites distintos, sabemos que nos encontramos en la intersección de tres esferas, que es (genéricamente) la intersección de dos circunferencias que está dada por dos puntos (ver Figura 5). Nuevamente, esta afirmación no siempre es cierta, los invito a pensar por qué sí lo es en nuestra situación.

Hasta aquí hemos (casi[1]) resuelto la mitad del problema: si conocemos nuestra distancia a tres puntos cuya posición es conocida, podemos decir exactamente donde nos encontramos.

Figura 4: Intersección de dos esferas en el espacio

La distancia a un satélite

Repasemos: si conocemos a qué distancia estamos (exactamente) de tres satélites de los cuales conocemos su posición, podemos decir (exactamente) en que lugar estamos. Veamos entonces cómo hacemos para conocer nuestra distancia a los satélites. Aquí retomamos nuestra segunda idea:

velocidad x tiempo = distancia.

Es decir que podemos calcular la distancia a la que nos encontramos de un satélite si alguien viaja desde él hasta nosotros y nos cuenta cuanto tardo y a qué velocidad viajó. Ese “alguien” es una señal de radio que envia el satélite. La señal viaja a la velocidad de la luz, unos 299.792,458 kilómetros por segundo, que podemos redondear en 300.000 para esta nota, y lleva consigo la hora a la que salió del satélite. Cuando recibimos esa señal en nuestro GPS, este se fija qué hora es y puede calcular cuánto tardó en llegar la señal que, múltiplicando por la velocidad a la que viajó nos informa de la distancia a la que nos encontramos del satélte. Por ejemplo, si la señal tarda 6 centésimas de segundo en llegar a nosotros, significa que estamos a

0,06seg x 300.000 (km/seg)=18.000km.

De lo ideal a lo real…

Tenemos prácticamente solucionado nuestro problema de no ser por la palabra “exactamente” que aparece sutilmente en el párrafo anterior. El problema es que por un lado la señal no viaja exactamente a 299.792,458 km/seg ya que la velocidad a la que viaja la luz depende del medio, en este caso las condiciones meteorológicas; y en segundo lugar, tampoco conocemos en forma exacta el tiempo que tardó la señal en llegar a nosotros ya que para eso el reloj de nuestro GPS debería estar perfectamente sincronizado con el del satélite. Para darnos una idea de los errores que podemos llegar a cometer, supongamos que el reloj de nuestro GPS está una centésima de segundo adelantado. Entonces un satélite que se encuentre a 18.000 km de distancia enviará una señal que tardará 0,06 seg en llegar a nosotros. Pero como nuestro reloj está adelantado, asumirá que la señal tardó 0,07 segundos en lugar de 0,06. Por lo tanto haremos la cuenta

300.000 km/seg x 0,07seg=21.000km.

y erraremos por la módica cantidad de 3.000 kilómetros. Claramente errores de esta magnitud no son aceptables. La solución para este problema es utilizar relojes atómicos, que son extremadamente precisos. Tienen una (in)presición que ronda el segundo cada 30 millones de años. El problema es que son extremadamente costos y demasiado grandes como para llevar cada uno un reloj atómico en su GPS para la mochila. Esto se resuelve utilizando relojes atómicos para los satélites y corrección de errores en los relojes de los receptores calculando la distancia a cuatro satélites en lugar de tres. Pensémoslo nuevamente en el plano en lugar del espacio para simplificar. Agregamos entonces un tercer satélite a los dos que son necesarios en el plano. Si nuestro reloj está en hora, adelantado o atrasado, representará la distancia a los tres satélites según la Figura 5: si está en hora, la intersección de las tres circunferencias será un punto, el punto en donde estamos nosotros. Si está adelantado, nos imaginaremos a las circunferencias más grandes de lo que son en realidad y por lo tanto no habrá nadie en la intersección de las tres. Por último si está atrasado, nos imaginaremos a las circunferencias mas chicas de lo que son y nuevamente no habrá nadie en la intersección de las tres. Podemos entonces, dibujando las circunferencias, darnos cuenta de la situación de nuestro reloj y ajustarlo según sea necesario.

Corrección de errores en los relojes de los receptores