lunes, 23 de octubre de 2017
Editoriales

La columna de Paenza: Problema gödeliano

Por Adrián Paenza

Un desafío: Usted, ¿qué diría? Supongamos que yo pongo sobre una mesa dos objetos:

a) una moneda de un peso.

b) un televisor plasma de última generación.

Entonces, le propongo un desafío (sí, a usted que está leyendo):

Lo invito a que piense y haga una afirmación cualquiera. Pero de lo que usted afirme va a depender lo que yo haga con la moneda y/o con el televisor.

Si la frase que usted me dice es “verdadera”, entonces yo le prometo que le doy alguna de las cosas que están arriba de la mesa, pero no le digo cuál de las dos.

En cambio, si lo que usted dice es falso, entonces no le doy nada.

Ese es el planteo del problema. Sencillo y fácil de entender.

Las preguntas que surgen inmediatamente son las siguientes (al menos, las que se me ocurren a mí):

a) ¿habrá alguna afirmación que usted pueda hacer que me obligue a darle el televisor? O sea, ¿existirá tal frase?

b) Si la respuesta fuera sí, ¿cuál es? Es decir, ¿qué podría decir usted de manera tal que para que yo pueda mantener mi palabra, no me quede más remedio que darle el televisor?

Antes de dejarla/o pensando sola/o, le comento, que como siempre, no hay trampas, no hay nada escondido. Se trata de un problema de lógica. Nada más. Nada menos.

 

 

SOLUCION

La primera respuesta es que sí, que tal afirmación, existe. De hecho, sospecho que debe haber varias frases que funcionen, en el sentido de que me obliguen a tener que darle el televisor.

Yo voy a proponer una, pero no creo que sea la única. En todo caso, si a usted se le ocurrió otra, compárela con esta que escribo acá abajo y fíjese si tienen algo en común.

Supongamos que usted me dijera: “Ud. no me va a dar la moneda de un peso”.

Ahora, pensemos juntos.

Su afirmación no puede ser falsa, porque si lo fuera, eso querría decir que yo SI le voy a dar la moneda.

Pero de acuerdo con las reglas que yo mismo establecí, si su frase es falsa, yo no le doy nada. O sea, para que yo considere darle algo, lo primero que tiene que pasar es que lo que usted me diga tiene que ser verdadero. Luego, su frase no puede ser falsa.

Pero entonces, su afirmación tiene que ser verdadera. Por lo tanto, yo tengo que darle o bien la moneda, o bien el televisor. Pero como acabamos de ver que su frase es verdadera, eso implica dos cosas:

a) yo tengo que darle algo (porque lo que usted dijo es cierto).

b) yo no puedo darle la moneda, porque si no, su frase sería falsa.

Luego, no me queda más remedio que ¡darle el televisor!

El aporte de Kurt Gödel

Este tipo de situaciones se conocen como “problemas gödelianos” o “problemas de Gödel”, en honor a uno de los más famosos lógicos de la historia, el austro-húngaro Kurt Gödel (1906-1978). Gödel se dedicó a la matemática y, dentro de ella, a la lógica. También se especializó en filosofía.

Uno de los grandes científicos del siglo XX, Gödel revolucionó lo que se pensaba en esa época (1931), cuando demostró que la apuesta que hacían varios pensadores respecto de que todos los fundamentos de la matemática se podían demostrar desde la lógica y la Teoría de Conjuntos era falsa.

De hecho, con la aparición de su famoso Primer Teorema de Incompletitud (cuando sólo tenía 25 años), sorprendió a gente del prestigio de Bertrand Russell y David Hilbert (entre otros), quienes estaban convencidos de que a partir de un grupo de axiomas, se podía demostrar toda la matemática. Gödel probó que eso no sería posible.

Hasta principios de la década del ‘30, se suponía que toda afirmación que se hiciera dentro de la matemática se podía probar mediante el uso de la lógica, que o bien era cierta o bien era falsa.

Kurt Gödel probó, justamente en 1931, que había “verdades” que estaban más allá de la lógica, “verdades” que la lógica “sola” no podía comprobar.

El Teorema de Incompletitud de Gödel dice que la verdad de algunas afirmaciones matemáticas no se puede comprobar dentro de su propio universo lógico. Es decir, que hace falta “mirarlas desde afuera (de ese universo)”, para decidir sobre su veracidad.

Supongamos que yo dijera:

“Esta frase no es cierta”.

Si fuera cierta, entonces, querría decir que es falsa. Pero, ¿si es falsa… puede ser cierta? Al final, es como tratar de “morderse la cola”, andando en círculos. La realidad es que no hay ninguna manera lógica de demostrar que es cierta o falsa, porque la frase “habla de sí misma”.

Como usted imagina, lo que antecede es una primerísima aproximación a lo que hizo Gödel y lo que significó su decisivo aporte en el siglo pasado. Y, una vez más, también es “hacer” matemática.

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