lunes, 26 de junio de 2017
Editoriales

La columna de Paenza: Peinar la esfera

Por Adrián Paenza.

MCX51 - FLUSHING MEADOWS (NY, EEUU), 10/09/06.- Un recoje pelotas sostiene seis pelotas en la mano, durante la final masculina del Abierto de Tenis de EEUU 2006 en su último día entre el estadounidense Andy Roddcick y el suizo Roger Federer hoy, domingo 10 de septiembre, en Flushing Meadows, Nueva York (EEUU). EFE/PETER FOLEY¿Intentó usted peinar a un niño alguna vez? ¿Se dio cuenta de que si uno quiere peinarlo de tal forma que todo quede lacio y en una misma dirección… ¡no se puede!? Por más que uno pruebe de una u otra forma, empezando por el costado o por atrás o incluso por adelante, el resultado es invariablemente el mismo: no se puede. En todo caso, la única alternativa sería que en algún punto de la cabeza ¡el niño no tuviera pelo!

No importa cuán creativo uno quiera ser, al final siempre hay pelos que apuntan para arriba… o en distintas direcciones. Es lo que se conoce con el nombre de remolino.

De la misma forma, el ejemplo más conocido es el siguiente: tome una pelotita de tenis. Habrá advertido que la superficie tiene una suerte de “pelitos”. Suponga que la quiere peinar (como el pelo en la cabeza del niño). Si uno quiere dejar todos los pelitos planos, cambiando de dirección suavemente a medida que uno va avanzando, tampoco puede.

Es decir, la única manera de poder implementarlo, es que en –al menos– algún punto de esa pelotita, ¡no haya pelos!

Hasta acá, es sólo una observación práctica. No parece tener muchas consecuencias y por otro lado, ¿a quién le importaría? En definitiva, generaciones y generaciones de humanos hemos coexistido con remolinos y nadie se murió por eso.

Sin embargo, quiero mostrar algunas intervenciones de la ciencia en esto último y una aplicación impensada.

Justamente, una rama de la matemática –la topología algebraica– produjo un teorema muy importante, demostrado en el año 1912 por el científico danés L.E.J. Brower. Esencialmente, Brower probó que es imposible peinar una esfera con pelos en forma continua. Claro, el teorema dice otra cosa (lo escribo acá sólo para mostrar el lenguaje que se usa corrientemente y que está totalmente desvinculado de lo que uno lee/escucha/habla en nuestra sociedad):

“No existen sobre la esfera, campos vectoriales tangentes nunca nulos”.

¿Increíble, no? Parece mentira que de un enunciado de estas características se desprenda que siempre tiene que haber remolinos en la cabeza de un niño. O, en todo caso, la única manera de poder peinarlo en forma tal que el pelo quede lacio es que en algún lugar de su cabeza, ¡no haya pelos!

No me abandone ahora. Lo imagino pensando: ¿a esto se dedican los matemáticos? ¿A demostrar que uno no puede peinar una cabeza sin poder evitar los remolinos?

Téngame un poco más de paciencia y haga un esfuerzo –mínimo– para tratar de entender el párrafo siguiente. Créame que es sencillo, pero requiere que usted se tome un poquito de tiempo para pensar. Gracias.

¿Cómo se podría independizar uno de la cabeza del niño y sus cabellos? Así: imagine que usted tiene una esfera cualquiera, y en cada punto de esa esfera tiene apoyada una “flechita” o un palito que es tangente a la pelota en ese punto. Para aclarar las ideas, cuando escribo tangente es porque quiero decir que esa “flechita” está como “apoyada” o “pegada” en la pelota en ese punto.

Ahora bien: trate usted de “pegar” (idealmente) una flechita en cada punto de la esfera en forma continua * (que sería equivalente a tener la cabeza de un niño con pelos que le salen de todos lados y usted los quiere peinar).

El teorema de Brower dice que no es posible hacer esa distribución continua de “flechitas”, salvo que en algún punto no haya flecha. Y cuando uno dice que no haya flecha, es equivalente a decir, en el caso de la cabeza, que en algún punto no haya pelo.

Lo que es muy interesante es que más allá de peinar esferas, este teorema tiene (entre otras muchas aplicaciones) una muy directa ligada al clima. Sígame con esto porque la consecuencia es espectacular.

Imagine a la Tierra como una esfera. Suponga usted que en todo punto de la Tierra hay viento. Ese viento, en cada punto, tiene una cierta velocidad y dirección (que voy a imaginar –haciendo una simplificación– sólo horizontal).

Imagine que usted le asigna una “flechita” horizontal o tangente en ese punto, que mide la velocidad del viento. Cuanto más “larga” es la flecha indica que el viento es de mayor intensidad. Al revés, si la “flechita” es muy chica, eso significa que hay muy poco viento. Y el lugar hacia donde apunta la flecha marca la dirección

Entonces, el teorema dice que tiene que haber algún punto del globo en donde ¡no hay viento!. Es decir, en cualquier momento que uno quiera medir, tiene que haber algún punto (o más) sobre la superficie de la Tierra en donde no hay flechita, y por lo tanto, no hay viento.

Pero lo notable es que justamente ese punto sería el ojo de un ciclón o anticiclón. El viento circularía o se enrollaría alrededor de ese punto, como el remolino que se forma en la cabeza con los pelos.

Dicho de otra forma: el teorema de la “pelota peluda” dice –aplicado al clima– que siempre tiene que haber un punto (o más) en la Tierra en donde ¡tiene que haber un ciclón!

Por supuesto, observe que el ojo del ciclón puede ser arbitrariamente grande o pequeño, y que el viento, puede ser arbitrariamente fuerte o suave. No importa.

Lo sorprendente es que una observación tan inocente como la formación de remolinos en la cabeza de un niño (o de un adulto, por supuesto) dé lugar a un teorema muy importante, cuyas aplicaciones y consecuencias escapan no solo al lugar de esta nota, sino también a su autor.

* En forma continua quiere decir (en forma muy aproximada) que las flechitas de puntos cercanos apuntan en direcciones parecidas, que no hay puntos cercanos que tienen asignadas direcciones muy diferentes.

Sin embargo, si la cabeza de una persona fuera como la rueda de una bicicleta o la goma de un automóvil o un “salvavidas” (lo que en matemática se conoce como un “toro”), y en cada punto hubiera pegada una “flechita” en forma tangente y continua (como vimos más arriba en el caso de una esfera), el teorema ya no es cierto. Es que en ese caso, allí sí se puede peinar ese tipo de superficie.

El hecho de que se pueda hacer en un caso (el toro) y no se pueda hacer en otro (la esfera) tiene que ver con lo que se llama el “índice” o “característica” de una superficie. La esfera tiene índice 2, en cambio el toro, tiene característica 0.

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