miércoles, 13 de diciembre de 2017
Editoriales

La columna de Paenza: Monty Hall

Por Adrián Paenza

Lo que sigue es un desafío para usted. Es un problema que generó múltiples controversias, y que aún tiene a mucha gente discutiendo. Es muy fácil de entender e interesante para conjeturar el resultado. Eso sí. Vale la pena pelearse con la solución. Pase. Aquí está.

En un programa de la televisión norteamericana (conocido como Monty Hall), el conductor hace pasar a su invitado que va a competir por el premio mayor: un auto cero kilómetro. En el estrado hay tres puertas cerradas. Detrás de dos de esas puertas, hay una foto de un chivo. En cambio, detrás de la tercera hay una reproducción del auto. El participante tiene que elegir una de las tres puertas. Y si elige la correcta, se queda con el auto. Hasta acá, no habría nada original. Sería un programa convencional de preguntas y acertijos de los múltiples que pululan en la televisión. Pero el problema tiene un “agregado”. Una vez que el invitado “elige” una de las tres puertas, el conductor del programa, que sabe detrás de cuál está el premio, pretende colaborar con el participante y, para hacerlo, “abre” una de las puertas en las que él sabe que no está el auto. Y después le ofrece una nueva chance para elegir. ¿Cuál es la mejor estrategia? O sea, ¿qué es lo que más le conviene al participante? ¿Quedarse con lo que había elegido antes? ¿Cambiar de puerta? ¿O es irrelevante a los efectos de incrementar la probabilidad de ganar? En este punto, yo les sugiero que abandonen la lectura por un ratito y se concentren en pensar qué harían. Y luego, sí, vuelvan para corroborar si lo que pensaron estaba bien o había algunas otras cosas para considerar.

(Ahora los imagino recién retornados.) El problema presenta una arista anti-intuitiva.

¿Por qué? Porque la tentación es contestar lo siguiente: ¿Qué importancia tiene que cambie o no cambie una vez que quedan dos puertas solamente? Uno sabe que detrás de una de las dos está el auto y, en todo caso, la probabilidad de que esté detrás de una o de otra es la mitad. Pero, ¿es verdad esto? Digo, porque en realidad, más allá de la solución (que aparece más abajo), los invito a pensar lo siguiente: ¿Se puede ignorar que el problema no empezó con la segunda pregunta sino que en principio había tres puertas y la probabilidad de acertar era 1 en 3?

Ahora sí, acá va la solución.

En principio, cuando el participante hace su primera elección, tiene una chance de acertar en tres. O sea, la probabilidad de que se quede con el auto es un tercio. Aunque parezca redundante, este hecho es importante: el finalista tiene una chance para acertar entre tres, y dos de errar. ¿Qué preferirían ustedes en este caso? ¿Tener dos puertas o una sola? Claramente, uno elegiría tener dos y no una. Eso significa que, al elegir una, se está en desventaja con respecto a las otras dos. Por ejemplo, si hubiera otro participante y a él lo dejaran elegir dos de las puertas y a usted solamente una, ustedes sentirían que quedaron en inferioridad de condiciones, porque él tendría el doble de posibilidades que usted. De todas formas, si el otro participante se quedó con dos puertas, es seguro que detrás de al menos una de ellas tiene que haber un chivo. Por eso, no es una sorpresa que el conductor del programa abra una de las que le correspondió a él y allí no estuviera el auto. En eso, justamente, radica la idea del problema. Es preferible tener dos puertas, que tener una sola. Y por eso, cuando a uno le dan la chance de cambiar, debe cambiar inmediatamente porque aumenta uno las chances de acertar al doble, nada menos. Es que uno no puede ignorar que el problema empieza con las tres puertas y uno elige una de las tres.

Ahora, para convencerse aún más (si es que todavía le hace falta), veamos exhaustivamente todas las posibilidades.

 

Estas son las tres posibles configuraciones:

Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3
Posición 1 Auto Chivo Chivo
Posición 2 Chivo Auto Chivo
Posición 3 Chivo Chivo Auto

 

Supongamos que tenemos la posición 1.

Posibilidad 1: Usted elige la puerta 1. El conductor abre la 2. Si usted cambia, PIERDE. Si usted se planta, GANA. Es obvio que si el conductor hubiera abierto la puerta 3 el resultado sería el mismo.

Posibilidad 2: Usted elige la puerta 2. El conductor abre la 3. Si usted cambia, GANA. Si usted se queda, PIERDE.

Posibilidad 3: Usted elige la puerta 3. El conductor abre la 2. Si usted cambia, GANA. Si usted se queda, PIERDE.

 

En resumen, usted GANA en dos de las veces si cambia y sólo GANA una vez si se queda. Es decir, GANA en el doble de las veces si cambia.

Esto que parece “anti-intuitivo” o que “atenta contra la intuición” debería convencerlos. Pero si aún no es así, les sugiero que se sienten un rato con un lápiz (o lapicera). En todo caso, otra manera de pensarlo es la siguiente: supongamos que en lugar de haber tres puertas, hubiera un millón de puertas y les dan a elegir una sola (como antes). Por supuesto, como antes, sólo detrás de una hay un auto. Para hacerlo aún más evidente, supongamos que hay dos competidores: usted y otro. A usted le dan a elegir una sola puerta y, al otro, le dan las 999.999 restantes.

No hace falta que le pregunte si a usted no le gustaría tener la chance de ser el otro, ya que la respuesta sería obvia. El “otro” tiene 999.999 más posibilidades de ganar. Ahora supongamos que una vez elegida una puerta, el conductor del programa “abre” 999.998 de las puertas del “otro” en donde él sabe que no está el auto y le da la chance ahora de elegir de nuevo: ¿se queda con la que eligió en principio o elige la que tiene “el otro”? Creo que ahora se entiende mejor (espero) que es conveniente cambiar. En todo caso, los invito a que piensen lo que sería tener que “fabricar” la “tablita” que aparece más arriba, pero en lugar de hacerla con tres puertas, tener que hacerla con un millón.

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