lunes, 30 de marzo de 2020
Editoriales

Números grandes

Por Adrián Paenza

na21fo01

La escena se desarrolla en la Feria del Libro de Berazategui. Muchísima gente ansiosa recorriendo los distintos stands. Después de una charla, se me acerca Daniela, una joven estudiante de primer año de una escuela de Quilmes. Viene acompañada de tres compañeras a quienes –supe después– les había hecho una suerte de apuesta. Querían corroborar conmigo quien tenía razón. Sonríen nerviosas. “Adrián: acá tenemos un mazo con 52 cartas (contando comodines, ochos, nueves, todo…). Si las mezclamos ¿de cuántas formas pueden quedar ordenadas las cartas? ¿Es un número grande?”

La pregunta es muy interesante porque pone a prueba algo que –en general– nos cuesta hacer: imaginar números grandes. ¿Cómo podría hacer yo para compararlo con algo que se entienda claramente?

“Miren”, sigo yo mientras busco en mi teléfono celular el número exacto, ya que lo tengo agendado de otra charla. “¿Tienen un papel en blanco?” Mientras lo buscan, me siento y me preparo a dictarles el número. “Anotá”, y las empiezo a bombardear con estos dígitos:

80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000

“Son 68 en total”, sigo yo ante la incredulidad de las cuatro. “Como se darán cuenta, yo tenía el número preparado para situaciones como la que me plantearon ustedes”.

Y es así. Es un número sorprendente, a tal punto, que es casi seguro que todas las veces que usted y yo, y todas las personas que conocemos entre los dos, jamás jugaron con un mazo ordenado de la misma forma. Más aún: en la historia de la humanidad, es altamente improbable que dos mazos estuvieran mezclados de la misma forma, incluyendo todos los partidos que se jugaron hasta acá. Y muy posiblemente lo mismo ocurra con todos los partidos que se jueguen mientras los humanos permanezcamos vivos.

Ya sé… ya sé… usted piensa no solo que estoy exagerando, sino que muy probablemente imagine que enloquecí. Está bien, está en su derecho. Pero déjeme proponerle una comparación que escribió Scott Czepiel, un matemático norteamericano, especialista en análisis de datos, graduado en la Universidad de Stony Brook y que hoy trabaja en San Francisco, California y después revisamos lo que usted pensó de mi afirmación.

Scott dice lo siguiente. Tome un cronómetro, pero piense que no lo va a usar para medir un tiempo hacia adelante, sino como un timer, es decir, para medir un tiempo hacia atrás, como lo que sucede con un horno a micro-ondas (por ejemplo), en donde uno establece un determinado tiempo, y el cronómetro corre en forma descendente hasta llegar a cero en donde suena una alarma para anunciar que el tiempo ha expirado.

Ahora, haga lo siguiente: en ese cronómetro, ponga el número que escribí más arriba (1):

80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000

Una vez que ya ubicó ese número, imagine que son “segundos” y que yo voy a empezar un proceso mientras el cronómetro empieza su marcha descendente.

Hagamos así: usted elija un punto cualquiera que esté en la línea del Ecuador. Cualquiera, el que le guste más. El juego consiste en empezar a caminar por arriba de esa línea (la del ecuador) pero llevando un ritmo muy pausado hasta completar una vuelta completa alrededor de la Tierra.

Para que nos quedemos tranquilos, la circunferencia de la Tierra a la altura del Ecuador se estima en alrededor de un poco más de 40 mil kilómetros (2).

Cuando esté listo, me avisa y lanzamos el cronómetro con la cuenta regresiva. Eso sí: como escribí más arriba, usted caminará en forma muy lenta, ya que, en realidad, no hay ningún apuro. Más aún: el objetivo es que usted disfrute del paisaje. Para ponernos de acuerdo con la velocidad, la idea es que entre paso y paso usted espere ¡mil millones de años! Por las dudas, lo escribo de nuevo: entre dos pasos que usted va a dar, tendrán que pasar mil millones de años.

Cuando haya completado su vuelta alrededor del globo por primera vez, tome una gota del Océano Pacífico, póngala en un recipiente y repita el proceso. Es decir, vuelva a dar una vuelta a la Tierra por el Ecuador dando un paso cada mil millones de años y cuando termine, vuelva a meter la mano en el océano, saque otra gota y tírela en el mismo recipiente. La idea es ir extrayendo agua del océano hasta vaciarlo.

Como se estima que el océano Pacífico contiene más de 700 millones de kilómetros cúbicos de agua, el proceso le va a llevar un rato. Mientras tanto, usted continúa con la misma estrategia: da pasos (digamos de un metro por vez) esperando mil millones de años entre uno y otro, y cada vez que llega al punto del que salió, vuelve a sacar una gota (que descarta en alguna parte). Mientras usted sigue adelante con este operativo, el cronómetro sigue retrocediendo sin detenerse mientras busca llegar al cero. Cuando eso ocurra, usted habrá concluido el objetivo.

No me deje ahora porque todavía falta lo más interesante. Cuando en el océano ya no quede más agua, tome una hoja de papel cualquiera y apóyela cerca de donde usted está parada/o. Ni bien lo haya hecho, vuelva a llenar el Pacífico rápidamente y empiece el proceso otra vez (de caminar alrededor de la Tierra alrededor del Ecuador con pasos que le llevan mil millones de años entre ellos, etc.). Cuando el Pacífico quede vacío por segunda vez, tome una hoja similar a la que puso antes y ubique esta segunda hoja arriba de la que había puesto antes. De hecho, usted va a empezar a apilar hojas del mismo tipo, una arriba de otra, formando una columna que cada vez irá tomando más altura. Como usted advierte, el proceso lleva su tiempo, y mientras tanto el cronómetro sigue corriendo.

Claro, llegará un momento en el que la pila de hojas empezará a cobrar tanta altura que usted tendrá derecho a preguntarse: “¿hasta cuándo sigo? Digo, porque la columna de hojas se está haciendo cada vez más alta”. Hagamos lo siguiente entonces. Cuando usted vea que el papel acumulado con el tiempo (mientras el cronómetro retrocede) “amenaza” con llegar al Sol (3), prepárese para ver cuánto tiempo falta para llegar a cero.

Uno sospecha que ya no debería faltar tanto. Le pido que se fije en los primeros tres numeritos que tenía el cronómetro antes de empezar el proceso. Como usted tenía el número anotado me dice que lo va a buscar para ver cuáles eran. Allí es donde yo le digo que no hace falta, porque esos tres dígitos permanecen imperturbables: el 8, 0 y 6 que había originalmente, siguen estando en el mismo lugar. ¡Increíble! Es decir, se modificaron los 65 últimos pero los primeros tres siguen inmutables.

Eso indica que todavía falta muchísimo tiempo para que el cronómetro llegue a cero. Para su tranquilidad, cuando la columna de papel llegue al Sol, desármela y guarde las hojas porque las va a necesitar después.

Ahora, hay que empezar con el proceso nuevamente desde el principio. Es decir, usted tendrá que volver a elegir su sitio favorito en el Ecuador y empezar con la misma travesía que lo llevó hasta acá. Más aún: cuando me mire con desazón preguntándome: “¿Una vez más todo?”, yo ya tengo una respuesta preparada: “Si, hay que repetir lo mismo… pero no se preocupe porque hay que repetirlo mil veces más. Después miramos el cronómetro y decidimos”.

Aquí sí que me gustaría tener una cámara porque su cara es impagable.

Cuando termina de repetir esas mil veces, usted mira el cronómetro con asombro… ¡porque no puede creer que todavía le falta para llegar a cero! Peor: usted hace una cuenta mental y advierte que recién ahora recorrió un tercio del tiempo. Le faltan todavía dos terceras partes para que el reloj llegue a cero.

Acá voy a parar. La comparación de Czepiel (4) continúa con más datos que resultan entretenidos porque todavía queda muchísimo tiempo. Pero quiero parar porque me parece que es suficiente. El número de formas posibles en las que se pueden ordenar las cartas de un mazo es realmente enorme, y se escapa a nuestra capacidad de comprensión.

Una vez que uno toma noción de esto, es que se puede permitir el atrevimiento de decir que nunca, o mejor dicho, es muy muy muy improbable, que en la historia de la humanidad se hayan jugado dos partidos de cartas con los naipes ordenados de la misma forma. ¿Le sigue pareciendo exagerado ahora?

Subnota

Lo extraordinario es que estos números crecen en forma muy rápida. Si hubiera nada más que dos cartas (A y B), habría nada más que dos formas de ordenarlas: AB y BA.

Si hubiera tres (A, B y C), ya hay seis formas posibles: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA (fíjese que el resultado, 6, se obtiene multiplicando 3 x 2 x 1). Es que para la primera carta hay tres posibilidades, y para cada elección de la primera hay dos posibles para la segunda y una vez elegidas las dos primeras queda una sola “libre”. Este número se expresa como el factorial de 3, y la notación que se usa es: 3! = 3 x 2 x 1.

Si tuviéramos cuatro cartas, hay 4! (factorial de 4) formas de ordenarlas, y 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Con cinco cartas, (factorial de 5) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Con seis, se tiene 6! = 720.

Dos cosas más:

a) si hubiera diez cartas (haga la cuenta usted), las formas de ordenarlas ya superan las 3.600.000 (sí, más de 3 millones seiscientos mil) ya que 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800.

b) como en el problema original hay 52 cartas, todos los posibles órdenes se calcula con el factorial de 52, o sea 52!, que es el número de 68 dígitos que escribí más arriba.

Piense cuántos libros tiene en su biblioteca (o en una biblioteca cualquiera). ¿Son más de diez? Si tuviera 10 nada más, y usted los quisiera ordenar todos los días de una forma diferente, tendría que esperar 3.628.000 días hasta que esté forzado a repetir un orden anterior, y como usted advierte eso significan casi ¡diez mil años! Le deseo suerte…

Ah, una cosa más: Daniela les ganó la apuesta: el número 52! es verdaderamente muy grande.

Notas:

(1) Por supuesto, esto es impracticable porque no hay cronómetros accesibles a nosotros, al público, que tengan tamaña cantidad de dígitos, pero supongamos que uno pudiera hacerlo

(2) La estimación más aceptada hoy es que la Tierra tiene una circunferencia alrededor de la línea que separa los hemisferios norte y sur de 40.075.017 metros.

(3) La distancia de la Tierra al Sol se calcula en 149.597.870.691 kilómetros.

(4) El artículo escrito por Scott Czepiel está acá: http://czep.net/weblog/52cards.html.

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