viernes, 28 de abril de 2017
Editoriales

La columna de Paenza: Adiós a las tablas

Por Adrián Paenza

¿Se imaginan si uno pudiera multiplicar sin tener que saber las tablas? Por supuesto, para la mayoría de nosotros ahora es demasiado tarde: ya las sabemos (o las deberíamos saber…). Pero me refiero a los chicos.

El texto que sigue va en ayuda de aquellos chicos que se resisten a aprender de memoria las tablas de multiplicar. Me apuro a decir que los comprendo perfectamente porque, en principio, cuando a uno le enseñan a repetirlas, no le queda más remedio que subordinarse a la “autoridad” del maestro/a, aunque a esa altura no está claro (para el niño) por qué tiene que hacerlo.

Lo que sigue es, entonces, una forma “alternativa” de multiplicar, que permite hacer el producto de dos números cualesquiera sin saber las tablas. Sólo se requiere lo siguiente:

a) saber multiplicar por dos (o sea, duplicar),

b) saber dividir por dos, y

c) saber sumar.

Este método no es nuevo. En todo caso, lo que podría decir es que está en desuso u olvidado, pero esta era la forma en la que multiplicaban los egipcios y que aún hoy se utiliza en muchas regiones de Rusia. Es el método conocido como la “multiplicación paisana”.

En lugar de explicar el método en general, voy a poner un ejemplo que será suficiente para entender todo lo que hace falta. Acá va.

Supongamos que uno quiere multiplicar 19 por 136.

Entonces, prepárese para escribir dos columnas, una debajo del 19 y otra debajo del 136.

En la columna que encabeza el 19, uno va dividiendo por dos, “olvidándose” del resto. Es decir, debajo del 19 uno escribe el número 9 (ya que si bien 19 dividido por 2 no es 9, el cociente es 9, pero uno ignora el resto).

Y luego sigue dividiendo por dos, usando el mismo método cuando se tropieza con un número impar. Es decir, debajo del 9, al dividir por dos aparece un 4, debajo del 4 aparece un 2 y, debajo del 2, aparece un 1. Y ahí para.

Mientras tanto, del otro lado, en la columna que encabeza el 136, en lugar de dividir por dos, ahora multiplica por dos y pone los resultados al lado. O sea, quedan dos columnas así:

19 136
9 272
4 544
2 1088
1 2176

Convengamos en que es verdaderamente muy sencillo. Todo lo que hice fue dividir por dos en la columna de la izquierda y multiplicar por dos en la columna de la derecha.

Ahora, eliminamos de la columna de la derecha los números que tienen a la izquierda un número par.

19 136
9 272
4 544
2 1088
1 2176

Es decir, sumamos los que quedaron en la columna de la derecha. En este caso:

19 136
9 272
4
2
1 2176

Al sumar sólo los compañeros de los impares, se tiene:

136 + 272 + 2176 = 2584,

que es 2584.

Los invito a que hagan la cuenta en forma convencional. El producto de 19 por 136, es justamente… ¡2584!

Un ejemplo más. Multipliquemos ahora 187 por 12.

187 12
93 24
46 48
23 96
11 192
5 384
2 768
1 1536

Primero, tachemos de la columna de la derecha aquellos que tienen compañeros pares a la izquierda.

187 12
93 24
46 48
23 96
11 192
5 384
2 768
1 1536

Ahora hay que sumar los de la segunda columna, cuyos compañeros de la primera columna sean impares.

187 12
93 24
46
23 96
11 192
5 384
2
1 1536
2244

Si ustedes multiplican 187 x 12 en forma convencional se obtiene, justamente, 2244.

Es decir, el método…¡funciona!

Créame (por un instante) que este mecanismo anda siempre. Pero antes de pensar juntos por qué sirve lo que hicimos, quiero invitarlo a reflexionar: estamos en presencia de un método que permite multiplicar dos números cualesquiera, ¡sin tener que saber las tablas!

Todo lo que se usa es saber multiplicar por dos, dividir por dos y sumar. Nada más.

Espero que se entienda que no digo que no sirva saber las tablas. Pero sí digo que ese aprendizaje viene en forma natural más adelante en el tiempo de formación de un chico. Si lo que se pretende es que sepa multiplicar, entonces el método que acabo de escribir sirve.

Ahora, si lo que se quiere es que el chico aprenda las tablas de memoria, esa es otra historia.

Una vez aclarado esto, lo invito a que usted piense por qué funciona este método, esta nueva forma de multiplicar, que no requiere que uno sepa las tablas (salvo la del dos).

 

Solución

Para usar el método que describí más arriba no hace falta saber por qué anda. De hecho, cuando una persona multiplica dos números en su vida cotidiana, lo hace usando una técnica que aprendió cuando era chico, pero no necesita saber cómo funciona en cada caso. Y eso, si no usa una calculadora o una computadora. Pero, concentrémonos en algo que puede ser utilizado en los colegios o en las escuelas.

Para aquellos a quienes sí les interese, docentes o no, vale la pena saber que lo que se usa, encubiertamente, es la escritura binaria de un número (como usan las computadoras) y, además, la propiedad distributiva del producto.

En el primer ejemplo, cuando multipliqué 19 por 136, observe que el número 19 se puede escribir así:

19 = 1 + 2 + 16 (*)

Por lo tanto, si uno quiere multiplicar (como buscábamos nosotros) 19 por 136, uno puede reescribir el número 19 como en (*). O sea:

19 x 136 = (1 + 2 + 16) x 136

Si ahora, usamos la propiedad distributiva de la multiplicación, se obtiene:

(1 + 2 + 16) x 136 =

(1 x 136) + (2 x 136) + (16 x 136) =

Y, justamente, los resultados de las multiplicaciones que están entre paréntesis son los que usamos en el ejemplo:

= 136 + 272 + 2176 =

= 2584

Observe que la multiplicación 16 x 136 consiste justamente en ir duplicando reiteradamente al número 136 cuatro veces.

Si ahora queremos explicar por qué funcionó el método cuando multiplicamos 187 por 12, es porque el número 187 se puede escribir así:

187 = (1 + 2 + 8 + 16 + 32 + 128)

Luego, con la misma idea de lo que hice recién, escribimos:

187 x 12 =

(1 x 12) + (2 x 12) + (8 x 12) + (16 x 12) + (32 x 12) + (128 x 12) = 12 + 24 + 96 + 192 + 384 + 1536 = 2244.

En definitiva, si uno quiere convencerse de que el método funciona siempre, todo lo que hay que saber es que un número siempre admite una escritura binaria. Y con eso alcanza.

Ah, antes de que me olvide: ¡gracias chicos, un beso para ustedes también!

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