martes, 22 de agosto de 2017
Editoriales

La Columna de Paenza: Problema del cronómetro y las infinitas monedas

Por Adrián Paenza

FOTO ALEJANDRO ELIAS DOLARES Y PESOSLa mejor manera de desafiar la intuición, provocar al cerebro, entrar en conflicto con la lógica, es plantear un problema que involucre al infinito. O mejor dicho, que involucre a conjuntos infinitos. Al mismo tiempo, estos casos suelen activar una catarata de respuestas contradictorias, de debates internos que muestran, una vez más, la riqueza de nuestro intelecto, al que no siempre aprovechamos ni entrenamos.

Le propongo entonces pensar lo siguiente: supongamos que usted tuviera infinitas monedas. (Sí, ya sé: infinitas monedas no hay, pero éste es un problema que requiere “estirar” la imaginación hasta ese lugar… ¿Se anima?) Supongamos que en un habitación está usted con un amigo y que entre los dos tuvieran infinitas monedas.

Como las monedas son todas iguales (digamos de un peso), ustedes les pusieron un “número” a cada una y las ordenaron en forma creciente (o sea, primero la número 1, luego la 2, la 3, etcétera). Además, en la habitación hay:

a) una caja enorme (en donde uno de ustedes va a empezar a colocarlas; y

b) un cronómetro.

El proceso que va a empezar ahora es el siguiente: yo hago arrancar un cronómetro, que empieza en la posición cero y dará una vuelta hasta llegar a cubrir 60 segundos (un minuto).

Usted tiene 30 segundos para colocar en la caja las monedas numeradas del 1 al 10. Una vez hecho esto, su amigo retira la moneda que lleva el número 1.

Ahora les quedan sólo 30 segundos en el reloj y nos empezamos a apurar. En la mitad del tiempo que les queda, o sea, en los siguientes 15 segundos, usted coloca en la caja las monedas del 11 al 20 y, rápidamente, su amigo retira de la caja la moneda que lleva el número 2. Ahora quedan 15 segundos antes de que se cumpla el minuto.

En la mitad de ese tiempo (o sea, 7 segundos y medio), usted tiene que colocar en la caja las monedas numeradas del 21 a la 30, y su amigo retirará entonces de la caja la moneda número 3.

Y así continúa el proceso indefinidamente: usted usa la mitad del tiempo que queda hasta completar el minuto para ir colocando diez monedas por vez en la caja, y su amigo va retirando (en forma ordenada) una por vez. Por ejemplo, y para ratificar que entendimos el proceso, en el próximo paso, en la mitad del tiempo que queda (tres segundos y tres cuarto) usted coloca en la caja las monedas numeradas del 31 al 40 y su amigo retira la moneda número 4.

Creo que se entiende el procedimiento. En cada paso usamos la mitad del tiempo que nos queda, para ir colocando sucesivamente –y en forma ordenada– diez monedas y vamos sacando, también en forma consecutiva, la moneda que tenga el número más chico. Obviamente, a medida que va avanzando el cronómetro y se va acercando a cumplir con el minuto pautado, tenemos que apurarnos cada vez más. La idea es que cada vez vamos reduciendo el tiempo a la mitad, para colocar 10 monedas y retirar una.

La pregunta que tengo para hacer es la siguiente: una vez terminado el tiempo (o sea, cuando expiraron los sesenta segundos), ¿cuántas monedas hay en la caja?

Acá es donde lo quiero dejar pensando a usted sola/o. Créame que vale la pena no mirar la solución, para poder disfrutar del placer de pensar. No importa siquiera si la solución a la que llega es correcta o no. En todo caso, lo más importante no es llegar a destino sino aprender a disfrutar del recorrido.

Solución

La tentación es decir, naturalmente, que en la caja hay infinitas monedas. De hecho, después de los primeros 30 segundos, hay 9 monedas, después de los 45, hay 18 monedas. Pasados 52 segundos y medio, hay 27 monedas, y luego de 56 segundos y un cuarto, hay 36 monedas. Es decir, luego del primer tramo, quedaron 9 monedas, después del segundo, 18. Luego del tercero, 27. Luego del cuarto, 36. La idea es que luego de cada parte del proceso aumentamos en nueve la cantidad de monedas. Más aún: si uno “detuviera” el reloj en cualquiera de los pasos, en la caja habría un número de monedas que sería un múltiplo de nueve (¿entiende por qué? Es que en cada paso, ponemos 10 y sacamos 1).

Luego de este razonamiento que acabo de hacer, es esperable que uno tienda a suponer que hay infinitas monedas en la caja cuando termina el proceso.

Sin embargo, esto es falso. En realidad, en la caja ¡no quedó ninguna moneda!

Veamos por qué. ¿Qué moneda puede haber quedado en la caja? Elija usted un número de moneda cualquiera (claro… como usted no puede, voy a elegir yo, pero lo invito a que haga usted el razonamiento por su cuenta). Por ejemplo, la número 3.

¿Pudo haber quedado la número 3 en la caja? ¡No! Porque ésa fue la que su amigo sacó luego del tercer paso.

¿Pudo haber quedado la número 20 dentro de la caja? ¡No! Tampoco ésta, porque luego del paso número veinte, sabemos que esa moneda la sacamos. ¿Podrá ser la número 100? Tampoco, porque luego del centésimo paso, la sacamos a ésta también. Entonces, otra vez: ¿qué moneda quedó dentro de la caja? Como usted advierte, cualquier moneda que usted crea que quedó adentro, tendrá que tener un número (digamos el 147.000), pero justamente, al haber llegado al paso 147.000 seguro que su amigo sacó esa moneda de la caja también.

Moraleja: a pesar de que atenta fuertemente contra la intuición, el hecho de ir sacando las monedas de la forma en la que describí más arriba, garantiza que cuando pase el minuto ¡no quedará ninguna moneda en la caja!

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