lunes, 26 de junio de 2017
Editoriales

La columna de Paenza: Diez bolsas, diez monedas

Por Adrián Paenza

ca. 1999 --- Golden Coins Spilling from Bag --- Image by © David Aubrey/CORBIS monedas de oro¿Cuántas ganas tiene de pensar? Si ahora no tiene tiempo, siga con alguna otra parte del diario, salvo que le interese leer el planteo de un problema y se permite dejarlo “en pausa” hasta que pueda dedicarle un rato a “masajear” su cerebro.

En cualquier caso, acá va un problema “sencillo” y que invita a pensar: se tienen diez bolsas numeradas (del uno al diez). Cada una de ellas contiene diez monedas de oro.

Las monedas son todas iguales en apariencia y todas tienen el mismo peso (10 gramos) salvo las de una sola bolsa. Las diez monedas de esta bolsa contiene monedas que pesan, todas, un gramo más que el resto. Es decir, las monedas de esta única bolsa pesan 11 gramos en lugar de 10.

En la habitación hay una balanza que mide el peso exacto (bueno, tan exacto como uno necesita para este problema), pero esa balanza se podrá usar una sola vez.

El problema consiste en saber qué hacer, para poder determinar en qué bolsa están las monedas que pesan diferente.

No sé si hace falta que lo escriba, pero obviamente, el problema no contiene ninguna trampa y sólo se trata de pensar con creatividad.

Como casi siempre, el atractivo particular que tiene este ejercicio es el camino que uno recorre en búsqueda de la solución. Encontrarla (o no) sólo sirve para acariciar el ego. Ah, y como siempre, esto es hacer matemática también.

Solución

Uno tiene las bolsas numeradas. Elige entonces monedas para pesar de la siguiente forma:

Una moneda de la bolsa número uno.

Dos monedas de la bolsa número dos.

Tres monedas de la bolsa número tres.

Cuatro monedas de la bolsa número cuatro.

Cinco monedas de la bolsa número cinco.

Seis monedas de la bolsa número seis.

Siete monedas de la bolsa número siete.

Ocho monedas de la bolsa número ocho.

Nueve monedas de la bolsa número nueve y, finalmente,

Diez monedas de la bolsa número diez.

Si usted hace la cuenta, ha elegido 55 (cincuenta y cinco monedas). Y estas 55 son las que usted pone en la balanza.

En principio, si las monedas pesaran todas iguales, es decir, si pesaran todas 10 gramos, el resultado que deberíamos obtener es de 550 gramos.

A esta altura, con esto que acabo de escribir, creo que usted puede pensar solo/a si hasta acá no se le había ocurrido cómo resolver el problema. Si no, sigo yo más abajo. Pero piense que con la idea extra de ver cómo elegir las monedas, ahora debería ser más sencillo decidir cuál es la bolsa que contiene las monedas que pesan 11 gramos.

Vuelvo a la solución. Al pesar las 55 monedas sabemos que el resultado va a ser mayor que 550 gramos (¿entiende por qué? Es que, como hemos elegido monedas de todas las bolsas, inexorablemente tuvimos que haber elegido monedas de la bolsa que pesa más).

Ahora, ¿cuánto más podría ser el resultado de la pesada? Por ejemplo si en lugar de pesar 550 gramos pesara 551, ¿qué querría decir?

Si lo piensa, resulta que si pesa exactamente un gramo más es porque hay una sola moneda que pesa 11 gramos, y por la forma en la que hemos elegido las monedas (una de la bolsa uno, dos de la bolsa dos, etc.) esto significa que la bolsa en donde están las que pesan distinto, tiene que ser la número uno. Es que de ella hemos elegido justamente una sola moneda.

Si, en cambio, en lugar de pesar 550, pesara 552, entonces eso quiere decir que hay dos monedas que pesan 11 gramos cada una. ¿No es fácil ver ahora que la bolsa en donde están las que pesan más tiene que ser la bolsa número dos? De esta forma, si pesara 553, las monedas de mayor peso estarán en la bolsa número 3, y así siguiendo.

Es decir, hemos resuelto el problema: con una sola pesada podemos determinar en qué bolsa están las que pesan 11 gramos.

Esta es la única solución que yo conozco, lo cual no significa que no haya otras (ni mucho menos). En realidad, la idea es que cuando uno ve la solución que propone otra persona, uno abandona la búsqueda y eso le quita parte del encanto a un problema.

Uno de los más lindos desafíos que tenemos los humanos es encontrar una forma de entrarle al problema por otro lado y extraerle una mejor solución. Y eso, justamente eso, es parte del encanto de la matemática.

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